Задача 67243

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Забазнов Г.

Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. Пусть $H$ и $M$ – точка пересечения высот и середина стороны $BC$ соответственно. Прямая $HM$ пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $BHC$, в точке $N\not=H$. На дуге $BC$ окружности $\omega$, не содержащей точку $H$, нашлась точка $P$ такая, что $\angle HMP=90^{\circ}$. Отрезок $PM$ пересекает $\Omega$ в точке $Q$. Точки $B'$ и $C'$ симметричны точке $A$ относительно точек $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $AB'C'$ и $PQN$ касаются.

Решение

Пусть $T$ – точка $\Omega$, противоположная $A$ (центр $AB'C'$, как известно, $T$ лежит на $MH$), а точка $Q'$ симметрична $A$ относительно $Q$. Так как окружности $\Omega$ и $\omega$ симметричны относительно $M$, $MQ\cdot MP=MH\cdot MN=MT\cdot MN$, т.е. $T$ лежит на окружности $PQN$. Кроме того, треугольники $MQN$ и $MHP$ (равный $MTP$) подобны, значит, $\angle NHP=\angle NQM$ и радиусы окружностей $PQN$ и $\omega$ равны. Следовательно, окружность $PQN$ симметрична $\Omega$ относительно $QT$ и касается в точке $Q'$ окружности $AB'C'$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
класс
Класс	9
задача
Номер	9.6