Страница: 1 [Всего задач: 3]
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность Ω. Пусть H и M – точка пересечения высот и середина стороны BC соответственно. Прямая HM пересекает окружность ω, описанную около треугольника BHC, в точке N≠H. На дуге BC окружности ω, не содержащей точку H, нашлась точка P такая, что ∠HMP=90∘. Отрезок PM пересекает Ω в точке Q. Точки B′ и C′ симметричны точке A относительно точек B и C соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников AB′C′ и PQN касаются.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11
|
Высоты BE и CF остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Перпендикуляр из H к прямой EF пересекает прямую ℓ, проходящую через точку A и параллельную BC, в точке P. Биссектрисы углов, образованных прямыми ℓ и HP, пересекают прямую BC в точках S и T. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и PST касаются.
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
В треугольнике ABC точки P и Q изогонально сопряжены. Прямая PQ пересекает окружность ABC в точке X. Прямая, симметричная BC относительно PQ, пересекает прямую AX в точке E. Докажите, что точки A, P, Q, E лежат на одной окружности.
Страница: 1 [Всего задач: 3]