Условие
Дан треугольник $ABC$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ берутся на его описанной окружности так, что $A_1B_1\parallel AB$, $A_1A_2\parallel BC$, $B_1B_2\parallel AC$. Прямые $AA_2$ и $CA_1$ пересекаются в точке $A'$, а прямые $BB_2$ и $CB_1$ – в точке $B'$. Докажите, что все прямые $A'B'$ проходят через одну точку.
Решение 1
Так как соответствие между точками $A_1$ и $A_2$ проективно, геометрическим местом точек $A'$ является коника, проходящая через $A$ и $C$. Когда $A_1$ лежит на внутренней или внешней биссектрисе угла $C$, прямые $AA_2$ и $CA_1$ параллельны, следовательно, эта коника – равносторонняя гипербола с асимптотами, параллельными биссектрисам. Аналогично, ГМТ $B'$ – равносторонняя гипербола, проходящая через $B$ и $C$ с асимптотами, параллельными биссектрисам. Соответствие между $A'$ и $B'$ также проективно, причем в точку $C$ и бесконечные точки гипербол эти точки попадают одновременно. Следовательно все прямые $A'B'$ проходят через четвертую точку пересечения гипербол.
Решение 2
Пусть прямые $CA_1$, $CB_1$ пересекают $AB$ в точках $X$, $Y$ соответственно. Так как дуги $CA_2$, $BA_1$, $AB_1$ и $CB_2$ равны, то $AA'\parallel B'Y$, $BB'\parallel A'X$ и треугольники $AA'X$ и $YB'B$ гомотетичны. Их центр гомотетии $Z$ лежит на прямой $AB$ и удовлетворяет условию $ZX\cdot ZY=ZA\cdot ZB$. Поскольку $\angle ACX=\angle BCY$, окружности $ABC$ и $CXY$ касаются. Следовательно, $Z$ лежит на их общей касательной и не зависит от точек $A'$, $B'$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2023 |
|
класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
9.3 |
