Задача 67239
|
|
 |
Условие
Можно ли поместить правильный треугольник внутрь правильного шестиугольника так, чтобы из любой вершины шестиугольника были видны все три вершины треугольника? (Точка $A$ видна из точки $B$, если отрезок $AB$ не содержит внутренних точек треугольника.)
Решение
Точки, из которых видны все вершины правильного треугольника $XYZ$, лежат в трех углах, вертикальных к углам треугольника. Если в каждом из этих углов лежат две вершины шестиугольника, то его главные диагонали не могут пересекаться в одной точке. Иначе какие-то две несоседние вершины шестиугольника лежат в одном угле, скажем несоседние вершины $A$ и $B$ лежат в угле, вертикальном с углом $X$. Тогда $\angle AXB\leq 60^{\circ}$, и $X$ лежит на дуге $AB$, лежащей вне шестиугольника.
Ответ
Нет.
