Задача 67242
|
|
 |
Условие
На боковой стороне $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ выбрана точка $D$. Луч $AD$ пересекает прямую, проходящую через вершину $B$ и параллельную основанию $AC$, в точке $E$. Докажите, что касательная к описанной окружности треугольника $ABD$ в точке $B$ делит отрезок $EC$ пополам.
Решение
Пусть $M$ – точка пересечения касательной с отрезком $CE$. Тогда $\angle CBM=\angle DAB$ и, значит, $\angle MBE=\angle CAD$. С другой стороны, $BC:BE=(BC:AC)(AC:BE)=(AB:AC)(CD:BD)=\sin\angle DAC:\sin\angle DAB$. Следовательно, $BM$ – медиана треугольника $BCE$.
