Задача 67241

Темы:    [ Прямая Гаусса ] [ Аффинная геометрия (прочее) ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Галяпин Г.

В треугольнике $ABC$ вписанная окружность $\omega$ с центром $I$ касается $BC$ в точке $D$. Точка $P$ – проекция ортоцентра треугольника $ABC$ на медиану из вершины $A$. Докажите, что окружности $AIP$ и $\omega$ высекают на $AD$ равные отрезки

Решение

Пусть $M$ – середина $BC$, $N$ – середина $AD$, $E$ – вторая точка пересечения $AD$ и $\omega$, $F$ – точка пересечения прямой $MI$ с окружностью $DIE$. Известно, что окружности $BCP$ и $ABC$ равны, поэтому $MP\cdot MA=MB^2$. Кроме того, точки $M$, $I$, $N$ лежат на одной прямой (прямая Гаусса вырожденного четырехугольника $ABDC$). Наконец, четырехугольник $DB'EC'$, где $B'$ и $C'$ – точки касания $\omega$ со сторонами $AC$ и $AB$, – гармонический, поэтому касательная к $\omega$, проведенная в $E$, проходит через точку $Z = B'C'\cap BC$, дополняющую $B$, $C$, $D$ до гармонической четверки. Тогда любая окружность, проходящая через $D$ и $Z$, ортогональна окружности с диаметром $BC$, в частности, такова окружность $DIE$ (с диаметром $IZ$). Следовательно, $MI\cdot MF=MB^2=MP\cdot MA$, т.е. четырехугольник $AFIP$ – вписанный. Тогда степени $N$ относительно $\omega$ и $(AIP)$ равны, откуда следует требуемое.

Замечания

Точка $F$ является инверсным образом точек $N$ и $I$ относительно окружности с диаметром $BC$ и $\omega$ соответственно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
класс
Класс	9
задача
Номер	9.4