Страница: 1 [Всего задач: 3]      

Внутри четырёхугольника $ABCD$ отметили точку $P$ такую, что $\angle APB + \angle CPD = 180^\circ$. Точки $P_a$, $P_b$, $P_c$, $P_d$ изогонально сопряжены $P$ в треугольниках $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$. Докажите, что точки пересечения диагоналей четырёхугольников $ABCD$ и $P_aP_bP_cP_d$ совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Общие касательные к описанной и вневписанной окружностям треугольника $ABC$ пересекают прямые $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $A_2$, $B_2$, $C_2$ соответственно. Треугольник $\Delta_1$ образован прямыми $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, а треугольник $\Delta_2$ – прямыми $AA_2$, $BB_2$ и $CC_2$. Докажите, что радиусы описанных окружностей этих треугольников равны.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$ вписанная окружность $\omega$ с центром $I$ касается $BC$ в точке $D$. Точка $P$ – проекция ортоцентра треугольника $ABC$ на медиану из вершины $A$. Докажите, что окружности $AIP$ и $\omega$ высекают на $AD$ равные отрезки

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]