|
|
 |
Условие
Общие касательные к описанной и вневписанной окружностям треугольника $ABC$ пересекают прямые $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $A_2$, $B_2$, $C_2$ соответственно. Треугольник $\Delta_1$ образован прямыми $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, а треугольник $\Delta_2$ – прямыми $AA_2$, $BB_2$ и $CC_2$. Докажите, что радиусы описанных окружностей этих треугольников равны.
Решение
Лемма. Пусть $J$ – центр вневписанной окружности, $P$ – точка касания прямой $A_1B_1C_1$ с описанной окружностью. Тогда точки $C$, $J$, $C_1$, $P$ лежат на одной окружности.
Доказательство. Пусть $W$ – вторая точка пересечения прямой $CJ$ с описанной окружностью. Тогда $UW\parallel C_1J$ и $\angle(PC,CJ)=\angle(PC_1,C_1J)$.
Поскольку $\angle(A_2A,AA_1)=\angle(B_2B,BB_1)=\angle(C_2C,CC_1)$, то $\angle(B_2B,C_2C)=\angle(BB_1,CC_1)$. Следовательно, $B$, $C$, $J$, $A_3=BB_1\cap CC_1$ и $A_4=BB_2\cap CC_2$ лежат на одной окружности, причем $J$ – середина дуги $A_3A_4$ и $\angle(A_4J,JA_3)=2\varphi$. Аналогичные равенства верны для других пар вершин треугольников $\Delta_1$, $\Delta_2$, поэтому поворот с центром $J$ на угол $2\varphi$ переводит один из треугольников в другой, что, очевидно, влечет утверждение задачи.
