Задача 67302

Темы:    [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10,11

Условие

Авторы: Устинов А.В., Юран А.Ю.

Плоскость разбита на части несколькими прямыми, среди которых есть непараллельные. Те части, граница которых состоит из двух лучей, закрасили. После этого проведена ещё одна прямая. Докажите, что, независимо от положения новой прямой, по обе стороны от неё найдутся закрашенные точки.

Пример расположения прямых (без последней прямой) изображен на рисунке.

Решение

Введём систему координат так, чтобы новая прямая была осью $Oy$. Рассмотрим верхнюю среди самых левых точек пересечения нескольких прямых, назовём её $A$.

Рассмотрим лучи прямых, проходящих через $A$, лежащие в левой полуплоскости относительно вертикальной прямой $l$, проходящей через $A$, а также вертикальный луч, идущий вверх, если такой есть.

Среди всех этих лучей выберем два соседних. Они будут образовывать закрашенный угол, так как иначе бы нашлась точка пересечения, лежащая левее $A$ либо лежащая на $l$ выше $A$. Поскольку хотя бы один из лучей лежит в левой полуплоскости относительно $l$, его точки будут лежать левее оси $Oy$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	87
Год	2024
класс
Класс	8
задача
Номер	3