Задача 67306

Темы:    [ Обыкновенные дроби ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10,11

Условие

Авторы: Доледенок А.В., Ретинский В.

Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{c}{d}+\frac{d}{c}.$$ Докажите, что произведение каких-то двух чисел из $a$, $b$, $c$, $d$ равно произведению двух других.

Решение 1

Перепишем условие в виде $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{c}{d}+\frac{d}{c}\iff \frac{a}{b}-\frac{d}{c}=\frac{c}{d}-\frac{b}{a}\iff \frac{ac-bd}{bc}=\frac{ac-bd}{ad}.$$ Если числитель дробей равен нулю, то $ac = bd$. В противном случае, если у равных дробей равны числители, то у них равны и знаменатели, то есть $bc = ad$.

Решение 2

Пусть $x_1 = \frac{a}{b}$, $x_2 = \frac{c}{d}$. Если $x_1 = x_2$, то $ad = bc$, поэтому далее будем считать, что $x_1 \neq x_2$. Обозначим значение левой и правой части равенства через $t$. Тогда условие переписывается в виде $$x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}=t.$$ Рассмотрим функцию $f(x) = x + \frac{1}{x}$. Числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $f(x) = t$. Перепишем это уравнение в виде $$f(x)=t\iff x+\frac{1}{x}=t\iff x^2-tx+1=0.$$ Тогда по теореме Виета $$x_1{x}_2=1\iff \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=1\iff ac=bd.$$

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	87
Год	2024
класс
Класс	9
задача
Номер	1