Условие
Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что
$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{c}{d} + \frac{d}{c}.$$
Докажите, что произведение каких-то двух чисел из $a$, $b$, $c$, $d$ равно произведению двух других.
Решение 1
Перепишем условие в виде
$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{c}{d} + \frac{d}{c} \ \Leftrightarrow \ \frac{a}{b} - \frac{d}{c} = \frac{c}{d} - \frac{b}{a} \ \Leftrightarrow \ \frac{ac-bd}{bc} = \frac{ac - bd}{ad}.$$
Если числитель дробей равен нулю, то $ac = bd$. В противном случае, если у равных дробей равны числители, то у них равны и знаменатели, то есть $bc = ad$.
Решение 2
Пусть $x_1 = \frac{a}{b}$, $x_2 = \frac{c}{d}$. Если $x_1 = x_2$, то $ad = bc$, поэтому далее будем считать, что $x_1 \neq x_2$. Обозначим значение левой и правой части равенства через $t$. Тогда условие переписывается в виде
$$x_1 + \frac{1}{x_1} = x_2 + \frac{1}{x_2} = t.$$
Рассмотрим функцию $f(x) = x + \frac{1}{x}$. Числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $f(x) = t$. Перепишем это уравнение в виде
$$f(x) = t \ \Leftrightarrow \ x + \frac{1}{x} = t \ \Leftrightarrow \ x^2 - tx + 1 = 0.$$
Тогда по теореме Виета
$$x_1x_2 = 1 \ \Leftrightarrow \ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = 1 \ \Leftrightarrow \ ac = bd.$$
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
87 |
|
Год |
2024 |
|
класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
1 |
