Условие
Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.
Решение
Обозначим девятиугольник как $A_1A_2 \ldots A_9$. Рассмотрим четырёхугольники $A_2A_4A_6A_8$ и $A_1A_4A_6A_8$. Заметим, что оба прямоугольниками они быть не могут, так как прямоугольник однозначно задаётся тремя вершинами. Значит, так как сумма углов в четырёхугольнике равна $360^{\circ}$, один из них будет иметь тупой угол, который и даст нам искомый треугольник.
Замечания
Можно показать, что всегда найдётся удовлетворяющий условию задачи треугольник, один из углов которого не меньше $100^{\circ}$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
87 |
|
Год |
2024 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
2 |
