Задача 67311

Темы:    [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10,11

Условие

Автор: Юран А.Ю.

Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.

Решение

Обозначим девятиугольник как $A_1A_2 \ldots A_9$. Рассмотрим четырёхугольники $A_2A_4A_6A_8$ и $A_1A_4A_6A_8$. Заметим, что оба прямоугольниками они быть не могут, так как прямоугольник однозначно задаётся тремя вершинами. Значит, так как сумма углов в четырёхугольнике равна $360^{\circ}$, один из них будет иметь тупой угол, который и даст нам искомый треугольник.

Замечания

Можно показать, что всегда найдётся удовлетворяющий условию задачи треугольник, один из углов которого не меньше $100^{\circ}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	87
Год	2024
класс
Класс	10
задача
Номер	2