ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 67319
УсловиеВ тетраэдре $ABCD$ скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка $AH_A$, где $H_A$ – точка пересечения высот грани $BCD$, провели прямую $h_A$ перпендикулярно плоскости $BCD$. Аналогичным образом определили точки $H_B$, $H_C$, $H_D$ и построили прямые $h_B$, $h_C$, $h_D$ соответственно для трёх других граней тетраэдра. Докажите, что прямые $h_A$, $h_B$, $h_C$, $h_D$ пересекаются в одной точке.РешениеПроведём через пару скрещивающихся рёбер тетраэдра $ABCD$ две параллельные плоскости. Так же поступим для двух других пар скрещивающихся рёбер и получим параллелепипед. Диагонали его граней равны между собой, поэтому все грани – прямоугольники, и параллелепипед прямоугольный. Пусть $O$ – его центр, являющийся также центром описанной сферы тетраэдра $ABCD$. Пусть также $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ – точки, симметричные $A$, $B$, $C$, $D$ соответственно относительно точки $O$ (см. рисунок). Докажем, что все построенные прямые проходят через точку $O$. Пусть $M$ – центр масс треугольника $BCD$. Тогда $$\overrightarrow{A'M}=\frac13\cdot(\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{A'C}+\overrightarrow{A'D})=\frac13\cdot \overrightarrow{A'A},$$ то есть точка $M$ лежит на диагонали $AA'$ и делит её в отношении $2: 1$, считая от вершины $A$. Аналогично центр масс $N$ треугольника $B'C'D'$ лежит на этой диагонали и делит её в отношении $1: 2$, считая от вершины $A$. Точка $O$ – середина отрезка $NM$, поэтому $AO:OM=3: 1$.Рассмотрим проекцию на плоскость $BCD$: $A''$ – проекция точки $A$, $O_A$ – проекция центра $O$. Точка $O$ совпадает с центром описанной сферы тетраэдра $ABCD$, поэтому $O_A$ – центр описанной окружности треугольника $BCD$. Тогда прямая $AA'$ проецируется в прямую Эйлера $O_AM$ треугольника $BCD$. Пусть $O_AM = x$. Тогда $O_A A'' = 3x$ ($O$ делит отрезок $AM$ в отношении $3:1$, это отношение сохраняется при проецировании). Кроме того, $O_A$, $M$, $H_A$ лежат на одной прямой и $O_AM : MH_A =1: 2$ (прямая Эйлера), отсюда $MH_A=2x$. Следовательно, $O_AA'' = O_AH_A$, т. е. точка $O_A$ является проекцией середины отрезка $AH_A$ на плоскость $BCD$. Прямая $OO_A$, перпендикулярная плоскости $BCD$, делит отрезок $AH_A$ пополам, а значит, совпадает с прямой $h_A$. Итак, все построенные прямые проходят через точку $O$.Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|