ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 67315

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Оценка + пример ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

У математика есть 19 различных гирь, массы которых в килограммах равны $\ln 2$, $\ln 3$, $\ln 4, \ldots, \ln 20$, и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67316

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$. Точки $M$ и $N$  – середины отрезков $BH$ и $CH$. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из точек $M$ и $N$ на прямые $AB$ и $AC$ соответственно, равноудалена от точек $B$ и $C$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67317

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10,11

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67318

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Дан многочлен степени $n \geqslant 1$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67319

Темы:   [ Равногранный тетраэдр ]
[ Центр масс ]
[ Ортогональная проекция (прочее) ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

В тетраэдре $ABCD$ скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка $AH_A$, где $H_A$  – точка пересечения высот грани $BCD$, провели прямую $h_A$ перпендикулярно плоскости $BCD$. Аналогичным образом определили точки $H_B$, $H_C$, $H_D$ и построили прямые $h_B$, $h_C$, $h_D$ соответственно для трёх других граней тетраэдра. Докажите, что прямые $h_A$, $h_B$, $h_C$, $h_D$ пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .