Условие
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$. Точки $M$ и $N$ – середины отрезков $BH$ и $CH$. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из точек $M$ и $N$ на прямые $AB$ и $AC$ соответственно, равноудалена от точек $B$ и $C$.
Решение 1
Обозначим точку пересечения перпендикуляров, опущенных из точек $M$ и $N$ на прямые $AB$ и $AC$ соответственно, через $P$, а точки, симметричные $B$ и $C$ относительно прямых $MP$ и $NP$, через $B'$ и $C'$.
Тогда прямые $MP$ и $NP$ – серединные перпендикуляры к отрезкам $BB'$ и $CC'$, поэтому достаточно доказать, что четырёхугольник $BB'C'C$ – вписанный. Заметим, что $MP$ и $NP$ содержат средние линии треугольников $BB'H$ и $CC'H$, параллельные сторонам $B'H$ и $C'H$ соответственно. Значит, $HB'\perp AB$, $HC'\perp AC$. Четырёхугольник $HB'AC'$ вписан в окружность, построенную на $AH$ как на диаметре, поэтому $\angle B'C'A = \angle B'HA$ по свойству вписанных углов. При этом $\angle B'HA = 90^\circ - \angle HAB' = \angle ABC$. Значит, четырёхугольник $BB'C'C$ вписанный, что и требовалось доказать.
Решение 2
Обозначим точку пересечения перпендикуляров,
опущенных из точек $M$ и $N$ на прямые $AB$ и $AC$ соответственно,
через $P$, а точку пересечения высот треугольника $ABC$ – через
$K$.
Тогда заметим, что треугольники $BKC$ и $NPM$ подобны по двум
углам. Действительно,
$\angle MNP = 90^\circ - \angle BCA = \angle CBK$. Аналогично,
выполнено равенство $\angle NMP = \angle BCK$. Также заметим, что
коэффициент подобия этих треугольников равен $2$, поскольку
$\frac{BC}{MN} = 2$. Опустим из $P$ перпендикуляр $PL$ на $BC$. Тогда
из доказанного подобия следует, что $\frac{HC}{LM} = 2$, т. е.
$LM = NH$. Следовательно, $BL = BM+ML = BM + NH = \frac{1}{2}BC$, а
значит, $P$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$, откуда
следует требуемое.
Решение 3
Обозначим точку пересечения перпендикуляров, опущенных из точек $M$ и $N$ на прямые $AB$ и $AC$ соответственно, через $P$, а середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ через $R$ и $S$.
Отрезки $RM$ и $SN$ являются средними линиями треугольников
$BAH$ и $CAH$, параллельными общей стороне $AH$ этих
треугольников. Поэтому отрезки $RM$ и $SN$ равны, параллельны и оба
перпендикулярны прямой $BC$. Параллельно перенесём точку $P$ на вектор
${\overrightarrow{MR}}$ и обозначим полученную точку $P'$. Тогда
четырёхугольники $MRP'P$ и $NSP'P$ являются параллелограммами. Поэтому
прямая $P'R$ параллельна прямой $PM$, а значит, перпендикулярна
$AB$. Аналогично прямая $P'S$ перпендикулярна $AC$. Тогда $P'$
является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AB$
и $AC$ треугольника $ABC$, т. е. совпадает с центром окружности,
описанной около треугольника $ABC$. В частности, точка $P'$ лежит на
серединном перпендикуляре к отрезку $BC$. Следовательно, точка $P$
также лежит на серединном перпендикуляре к $BC$, так как $P'P\perp BC$
по построению.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
87 |
|
Год |
2024 |
|
класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
2 |
