Задача 67315

Темы:    [ Взвешивания ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

У математика есть 19 различных гирь, массы которых в килограммах равны $\ln 2$, $\ln 3$, $\ln 4, \ldots, \ln 20$, и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах?

Решение

Сумма логарифмов положительных чисел равна логарифму их произведения, поэтому будем уравнивать произведения двух непересекающихся наборов чисел из множества $\{2, 3, \ldots, 20\}$. Разложим натуральные числа от 2 до 20 на простые множители: $$2, 3, 2^2, 5, 2\cdot 3, 7, 2^3, 3^2, 2\cdot 5, 11, 2^2\cdot 3, 13, 2\cdot 7, 3\cdot 5, 2^4, 17, 2\cdot 3^2, 19, 2^2\cdot 5.$$ Числа 11, 13, 17, 19 встречаются в этих разложениях ровно по одному разу, поэтому их следует исключить. Таким образом, более 15 гирь оказаться на весах не может. Покажем, что можно уравновесить 15 гирь. Заметим, что простые множители 2, 3, 5 и 7 встречаются в выписанных разложениях чётное число раз (18, 8, 4 и 2 соответственно). Приведём один из возможных примеров равенства произведений: $$2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 10\cdot 15\cdot 18 = 2^9\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7 = 3\cdot 5\cdot 9\cdot 12\cdot 14\cdot 16\cdot 20.$$

Ответ

15.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	87
Год	2024
класс
Класс	11
задача
Номер	1