|
|
 |
Условие
В трапецию $ABCD$ ($AD\parallel BC$) вписана окружность $\omega$, которая касается сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $P$ параллельно основаниям трапеции, пересекает прямую $QR$ в точке $X$. Докажите, что прямые $AB$, $QS$ и $DX$ пересекаются в одной точке.
Решение 1
Пусть $I$ – центр данной вписанной окружности. Тогда стороны треугольников $PQX$ и $AID$ попарно параллельны. Значит, такие треугольники гомотетичны, откуда следует требуемое в задаче.
Решение 2
Зафиксируем точки $A$, $B$, $P$, $Q$, $S$ и будем двигать точку $R$ по окружности $\omega$. Тогда точки $D$ и $X$ будут двигаться по прямой $AS$ и параллельной ей прямой, проходящей через точку $P$. Очевидно, что соответствие между $D$ и $S$ проективно, а поскольку на бесконечность они уходят одновременно, то это соответствие линейно, т.е. все прямые $DX$ проходят через одну точку. Ясно также, что эта точка лежит на прямой $AB$, поэтому достаточно найти одно положение, при котором $DX$, $AB$ и $QS$ пересекаются в одной точке. Этому условию удовлетворяет положение, при котором трапеция $ABCD$ – равнобокая.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
| год | |
| Год | 2024 |
| Заочный тур | |
| задача | |
| Номер | 9 [8-9 кл] |
