Условие
Хорда $PQ$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, пересекает стороны $BC$, $AC$ в точках $A'$, $B'$ соответственно. Касательные к окружности в точках $A$ и $B$ пересекаются в точке $X$, а касательные в точках $P$ и $Q$ – в точке $Y$. Прямая $XY$ пересекает $AB$ в точке $C'$. Докажите, что прямые $AA'$, $BB'$ и $CC'$ пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть прямые $PQ$ и $AB$ пересекаются в точке $U$, а прямые $AA'$ и $BB'$ – в точке $V$. Тогда прямая $XY$ является полярой точки $U$ относительно описанной окружности и,значит, точки $A$, $B$, $U$, $C'$ образуют гармоническую четверку. Следовательно, прямая $CV$ проходит через $C'$.
Источники и прецеденты использования
