Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67360
Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC точка D – основание высоты из вершины A, A – точка описанной окружности, диаметрально противоположная A. На отрезке AD выбрана точка P, а на отрезках AB и AC точки X и Y так, что CBP=ADY, BCP=ADX. Пусть PA пересекает BC в точке T. Докажите, что D, X, Y, T лежат на одной окружности.

Решение

Пусть окружность DXY пересекает BC в точке T. Отметим точку L – вторичное пересечение прямой AP и окружности BPC, тогда PCB=PLB=ADX и XDBL, аналогично и DYCL, отсюда треугольники DXY и LBC гомотетичны с центром в A, тогда гомотетичны и их описанные окружности. Пусть прямая через L параллельная BC пересекает окружность BPC вторично в точке N, тогда точки T и N соответственны, и A, T, N лежат на одной прямой. Основание перпендикуляра из A на BC – точка G симметрична D относительно середины BC, также и основание перпендикуляра из N симметрично D относительно середины BC, т.е. NABC. Пусть K – вторичное пересечение NA c окружностью ABC, тогда ADAG=AGGK=GCGB=DBDC=DPDL=DPGN, из равенства первого и последнего выражения AG:GN=DP:DA, т.е. точки P и A соответственны в подобных треугольниках DTA и GTN и P, T, A лежат на одной прямой, что завершает доказательство.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2024
класс
Класс 8
задача
Номер 8.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .