|
|
 |
Условие
В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $D$ – основание высоты из вершины $A$, $A'$ – точка описанной окружности, диаметрально противоположная $A$. На отрезке $AD$ выбрана точка $P$, а на отрезках $AB$ и $AC$ точки $X$ и $Y$ так, что $\angle CBP=\angle ADY$, $\angle BCP=\angle ADX$. Пусть $PA'$ пересекает $BC$ в точке $T$. Докажите, что $D$, $X$, $Y$, $T$ лежат на одной окружности.
Решение
Пусть окружность $DXY$ пересекает $BC$ в точке $T'$. Отметим точку $L$ – вторичное пересечение прямой $AP$ и окружности $BPC$, тогда $\angle PCB=\angle PLB=\angle ADX$ и $XD\parallel BL$, аналогично и $DY\parallel CL$, отсюда треугольники $DXY$ и $LBC$ гомотетичны с центром в $A$, тогда гомотетичны и их описанные окружности. Пусть прямая через $L$ параллельная $BC$ пересекает окружность $BPC$ вторично в точке $N$, тогда точки $T'$ и $N$ соответственны, и $A$, $T'$, $N$ лежат на одной прямой. Основание перпендикуляра из $A'$ на $BC$ – точка $G$ симметрична $D$ относительно середины $BC$, также и основание перпендикуляра из $N$ симметрично $D$ относительно середины $BC$, т.е. $NA'\perp BC$. Пусть $K$ – вторичное пересечение $NA'$ c окружностью $ABC$, тогда $$AD\cdot A'G=A'G\cdot GK=GC\cdot GB=DB\cdot DC=DP\cdot DL=DP\cdot GN,$$ из равенства первого и последнего выражения $A'G:GN=DP:DA$, т.е. точки $P$ и $A'$ соответственны в подобных треугольниках $DT'A$ и $GT'N$ и $P$, $T'$, $A'$ лежат на одной прямой, что завершает доказательство.
