ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 67360
УсловиеВ остроугольном треугольнике ABC точка D – основание высоты из вершины A, A′ – точка описанной окружности, диаметрально противоположная A. На отрезке AD выбрана точка P, а на отрезках AB и AC точки X и Y так, что ∠CBP=∠ADY, ∠BCP=∠ADX. Пусть PA′ пересекает BC в точке T. Докажите, что D, X, Y, T лежат на одной окружности.
РешениеПусть окружность DXY пересекает BC в точке T′. Отметим точку L – вторичное пересечение прямой AP и окружности BPC, тогда ∠PCB=∠PLB=∠ADX и XD∥BL, аналогично и DY∥CL, отсюда треугольники DXY и LBC гомотетичны с центром в A, тогда гомотетичны и их описанные окружности. Пусть прямая через L параллельная BC пересекает окружность BPC вторично в точке N, тогда точки T′ и N соответственны, и A, T′, N лежат на одной прямой. Основание перпендикуляра из A′ на BC – точка G симметрична D относительно середины BC, также и основание перпендикуляра из N симметрично D относительно середины BC, т.е. NA′⊥BC. Пусть K – вторичное пересечение NA′ c окружностью ABC, тогда AD⋅A′G=A′G⋅GK=GC⋅GB=DB⋅DC=DP⋅DL=DP⋅GN, из равенства первого и последнего выражения A′G:GN=DP:DA, т.е. точки P и A′ соответственны в подобных треугольниках DT′A и GT′N и P, T′, A′ лежат на одной прямой, что завершает доказательство. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке