|
|
 |
Условие
При каком наибольшем $n$ существует выпуклый многогранник с $n$ гранями, обладающий следующим свойством: для любой грани найдется точка вне многогранника, из которой видны остальные $n-1$ грани?
Решение 1
Очевидно, что тетраэдр удовлетворяет условию. Предположим, что $n>4$. Тогда найдутся три грани, не имеющие общей вершины. Многогранник лежит внутри одного из трехгранных углов, образованных плоскостями этих граней. Любой луч из вершины этого угла пересекает многогранник по отрезку. Удалив грани, содержащие ближние к вершине концы этих отрезков, получим многогранник с меньшим числом граней, содержащий исходный. Все грани этого нового многогранника должны быть видны из какой-то точки пространства – противоречие.
Решение 2
Отложим от точки $O$ $n$ векторов, перпендикулярных граням многогранника и направленных во внешнюю сторону. Условие задачи означает, что для каждого из этих векторов существует проходящая через $O$ плоскость такая, что этот вектор лежит по одну сторону от нее, а остальные $n-1$ векторов по другую. Но среди $n$ векторов найдутся четыре таких, что точка $O$ лежит внутри тетраэдра, образованного их концами. Любой вектор, отличный от этих четырех, лежит внутри трехгранного угла, определяемого каким-то тремя из них, поэтому для него такая плоскость существовать не может.
Решение 3
Для каждой грани множество точек, из которых она видна, является полупространством. При $n>4$ каждые четыре из таких полупространств имеют общую точку. По теореме Хелли все полупространства также имеют общую точку, что невозможно.
Ответ
При $n=4$.
