Условие
В треугольнике $ABC$ провели биссектрисы $BE$ и $CF$. Докажите, что $2EF \leq BF+CE$.
Решение
При $AB=AC$ имеем $BF=FE=EC$, и утверждение задачи выполнено. Пусть $AB < AC$. Тогда $BF:FA < CE:EA$, поэтому $EF$ пересекает продолжение $BC$ за точку $B$ и $\angle BEF < \angle CBE$. С другой стороны, точка $C$ лежит вне окружности $BFE$, значит, $\angle BEF > \angle BCF$. Поскольку $\angle BEF+\angle CFE=\angle BCF+\angle CBE$, получаем, что $|\angle BEF-\angle CFE| < \angle CBE-\angle BCF$.
Применив теорему синусов к треугольникам $BFE$ и $CEF$, получим
$$
\frac{BF+CE}{EF}=\frac{\sin\angle BEF}{\sin\angle FBE}+\frac{\sin\angle CFE}{\sin\angle ECF}.
$$
Так как произведение дробей в правой части
$$
\frac{\sin\angle BEF\sin\angle CFE}{\sin\angle FBE\sin\angle ECF}=\frac{\cos(\angle BEF-\angle CFE)-\cos(\angle BEF+\angle CFE)}{\cos(\angle FBE-\angle ECF)-\cos(\angle FBE+\angle ECF)} > 1,
$$
их сумма больше 2.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2024 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
10.3 |
