Версия для печати
Убрать все задачи

---

Решите уравнение  (x + 1)² + (x + 2)² + ... + (x + 10)² = (x + 1 + 2 + ... + 10)².

   Решение

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема синусов ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике $ABC$ провели биссектрисы $BE$ и $CF$. Докажите, что $2EF \leq BF+CE$.

Решение

При $AB=AC$ имеем $BF=FE=EC$, и утверждение задачи выполнено. Пусть $AB < AC$. Тогда $BF:FA < CE:EA$, поэтому $EF$ пересекает продолжение $BC$ за точку $B$ и $\angle BEF < \angle CBE$. С другой стороны, точка $C$ лежит вне окружности $BFE$, значит, $\angle BEF > \angle BCF$. Поскольку $\angle BEF+\angle CFE=\angle BCF+\angle CBE$, получаем, что $|\angle BEF-\angle CFE| < \angle CBE-\angle BCF$.

Применив теорему синусов к треугольникам $BFE$ и $CEF$, получим $$ \frac{BF+CE}{EF}=\frac{\sin\angle BEF}{\sin\angle FBE}+\frac{\sin\angle CFE}{\sin\angle ECF}. $$ Так как произведение дробей в правой части $$ \frac{\sin\angle BEF\sin\angle CFE}{\sin\angle FBE\sin\angle ECF}=\frac{\cos(\angle BEF-\angle CFE)-\cos(\angle BEF+\angle CFE)}{\cos(\angle FBE-\angle ECF)-\cos(\angle FBE+\angle ECF)} > 1, $$ их сумма больше 2.

Источники и прецеденты использования