Задача 67426

Темы:    [ Пирамида (прочее) ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Верно ли, что сумма внутренних двугранных углов при основании треугольной пирамиды всегда меньше суммы внешних?

Решение 1

Плоскую фигуру на рисунке сверху можно рассматривать как вырожденную треугольную пирамиду $ABCS$ c двугранным углом 0° при ребре $AB$ и двугранными углами 180° при рёбрах $AC$ и $BC$. Сумма внутренних углов при основании равна 360°, а внешних – равна 180°. Если немного приподнять вершину $S$ над плоскостью $ABC$, двугранные углы изменятся не сильно, поэтому сумма внутренних углов останется больше суммы внешних.

Решение 2

На клетчатой плоскости рассмотрим узлы, указанные на рисунке справа. Пусть $ABC$ – основание пирамиды, а высота $SH$ пирамиды равна стороне клетки. Тогда внешний двугранный угол при $CA$ равен $\angle SXH$ = 45°, а внутренний равен $135^\circ$. Аналогично при ребре $CB$. Значит, сумма внутренних двугранных углов при основании больше 270°, а внешних – меньше.

Ответ

Неверно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Дата	2023/24
Номер	45
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	4