Задача 67433

Темы:    [ Окружности (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Кухарчук И., Соколов А.

Даны две равные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$. На отрезке $O_1O_2$ взяты точки $X$ и $Y$ так, что $O_1Y = O_2X$. Точки $A$ и $B$ лежат на $\omega_1$, и прямая $AB$ проходит через $X$. Точки $C$ и $D$ лежат на $\omega_2$, и прямая $CD$ проходит через $Y$. Докажите, что существует окружность, касающаяся прямых $AO_1$, $BO_1$, $CO_2$ и $DO_2$.

Решение

Пусть внешние биссектрисы углов $AO_1B$ и $CO_2D$ пересекаются в точке $S$, а прямые $BO_1$ и $DO_2$ — в точке $T$. Тогда $\angle TO_1S = \frac12 \angle TO_1A = \angle O_1BA$, то есть $O_1S$ и $BX$ параллельны. Аналогично $O_2S$ и $DY$ параллельны. Заметим, что следующие площади треугольников равны: $$S_{O_1AS} = S_{O_1XS} = S_{O_2YS} = S_{O_2CS}$$ (первое и последнее равенство следуют из полученных параллельностей, а второе — из равенства отрезков $O_1X$ и $O_2Y$). Следовательно, точка $S$ равноудалена не только от прямых $O_1T$ и $O_1A$ ($O_2T$ и $O_1C$), но и от прямых $O_1A$ и $O_2C$, то есть является центром окружности, касающейся прямых $AO_1$, $BO_1$, $CO_2$ и $DO_2$, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Дата	2023/24
Номер	45
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	4