Задача 67466
|
|
 |
Условие
Назовём подмножество $A$ плоскости похожим на прямую, если для некоторой прямой $\ell$ той же плоскости найдётся такое взаимно однозначное соответствие $f\colon\ell\to A$, что для всяких двух точек $X,Y$ на прямой $\ell$ длина отрезка $XY$ отличается от длины отрезка $f(X)f(Y)$ не более, чем на $1$. Верно ли, что любое подмножество плоскости, похожее на прямую, лежит между некоторыми двумя параллельными прямыми?Решение
Приведём контрпример. Возьмём в качестве $\ell$ ось абсцисс, а в качестве множества $A$ – график функции $g(x) = \sqrt{|x|}$. Докажем, что отображение $(x,\,0)\to (x,\,g(x))$ удовлетворяет условию.Достаточно проверить, что для произвольных $y > x$ выполнены неравенства \begin{align} &\sqrt{(y-x)^2 + (\sqrt{|y|}-\sqrt{|x|})^2} \leqslant (y-x) + 1, \tag{1} \\ &y-x \leqslant \sqrt{(y-x)^2 + (\sqrt{|y|}-\sqrt{|x|})^2} + 1. \tag{2} \end{align} Неравенство $(2)$ верно, так как $$ y-x \leqslant \sqrt{(y-x)^2 + (\sqrt{|y|}-\sqrt{|x|})^2} . $$
Обоснуем неравенство $(1)$. Возводя его в квадрат и сокращая слагаемое $(y-x)^2$, получаем, что достаточно доказать неравенство $$(\sqrt{|y|}-\sqrt{|x|})^2 \leqslant 2(y-x) + 1.$$
1) Если $y > x \geqslant 0$, то $$ \begin{aligned} (\sqrt{|y|}-\sqrt{|x|})^2\leqslant 2(\sqrt{|y|}-\sqrt{|x|})&(\sqrt{|y|}+\sqrt{|x|}) = \\ &= 2(y-x) < 2(y-x)+1. \end{aligned} $$
2) Если $y \geqslant 0 > x$, то $$ \begin{aligned} (\sqrt{|y|}-\sqrt{|x|})^2 = (\sqrt{y}-\sqrt{-x})^2 &= y-x-2\sqrt{y}\sqrt{-x} \leqslant \\ &\leqslant y-x < 2(y-x)+1. \end{aligned} $$
3) Если $0 \geqslant y > x$, то заметим, что при замене $y$ на $-x$ и $x$ на $-y$ левая и правая части доказываемого неравенства не меняются, и справедливо рассуждение пункта $1$.
Таким образом, неравенства $(1)$ и $(2)$ верны для произвольных $y > x$.
Остаётся показать, что график функции $g(x)$ не лежит между никакими двумя параллельными прямыми. Предположим противное: график функции $g(x)$ лежит между параллельными прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$. Прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ не могут быть вертикальными, поскольку на графике $g(x)$ есть точки со сколь угодно большими абсциссами. Предположим теперь, что прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ задаются уравнениями $y = kx + b_1$, $y = kx + b_2$, причём $b_1 < b_2$. Поскольку точка $(0, g(0))$ находится между данными прямыми и $g(0)=0$, получаем $b_1 < 0 < b_2$. Заметим, что на графике $g(x)$ есть точки со сколь угодно большими ординатами и при положительных $x$, и при отрицательных. Следовательно, при любом $k$ на этом графике есть пара точек (с положительной и отрицательной абсциссами), ординаты которых больше $b_2$ и хотя бы одна из которых находится выше прямой $\ell_2$, а значит, не лежит между рассматриваемыми прямыми. Противоречие.
Ответ
Нет, неверно.Замечания
Отметим, что данная задача тесно связана с активно развивающейся областью метрической геометрии, которая занимается геометрией расстояния Громова–Хаусдорфа. Для того чтобы познакомиться с профессиональной переформулировкой этой задачи, понадобится ввести несколько вспомогательных определений. Для произвольных точек $x$, $y$ плоскости через $|xy|$ будем обозначать обычное евклидово расстояние между ними. Пусть $A$, $B$ – два непустых подмножества плоскости. Открытыми $r$-окрестностями $A$ и $B$ назовём множества $$ \begin{aligned}[b] U_r(A) &= \{ x \in \mathbb{R}^2 \colon \exists a \in A \text{, для которой } |ax| < r\}, \\ U_r(B) &= \{ x \in \mathbb{R}^2 \colon \exists b\in B\text{, для которой } |bx| < r\}. \end{aligned} $$ Расстоянием по Хаусдорфу между $A$ и $B$ называется величина $$ d_H(A, B) = \inf \{r > 0\colon A\subset U_r(B),\,B\subset U_r(A)\}. $$ Таким образом, вопрос задачи на самом деле заключается в том, верно ли, что расстояние Хаусдорфа между произвольным подмножеством плоскости, похожим на прямую, и некоторой прямой конечно. Теперь расшифруем понятие множества, похожего на прямую. Каждое подмножество $\sigma\subset A\times B$ декартова произведения $A$ и $B$ называется соответствием между $A$ и $B$, если проекции $$ \begin{aligned} \pi_A|_\sigma\colon \sigma &\to A, & \pi_A(a, b) &= a,\\ \pi_B|_\sigma\colon \sigma &\to B, & \pi_B(a, b) &= b, \end{aligned} $$ подмножества $\sigma\subset A\times B$ на множители $A$ и $B$ декартова произведения $A\times B$ сюръективны. Искажением соответствия $\sigma$ называется величина $$\operatorname{dis} \sigma = \sup\bigl\{\left||aa'|-|bb'^{\vphantom2}|\right|\colon(a, b), (a', b')\in\sigma\bigr\}.$$Обозначим $\mathcal{R}(A, B)$ множество соответствий между $A$ и $B$.
Расстоянием по Громову–Хаусдорфу между $A$ и $B$ называется величина $$d_{GH}(A, B) = \frac{1}{2}\inf\bigl\{\operatorname{dis} \sigma\colon \sigma\in\mathcal{R}(A, B)\bigr\}.$$
Возвращаясь к задаче, мы видим, что подмножество плоскости называется похожим на прямую, если расстояние Громова–Хаусдорфа между $A$ и $\mathbb{R}$ не превосходит $\frac{1}{2}$. Отметим, что, как видно из решения, взаимная однозначность $f$ не существенна для решения задачи и была включена в формулировку для её технического упрощения.
Итак, переформулировка задачи в терминах метрической геометрии, в которой она и возникла в недавних исследованиях, звучит следующим образом. Расстояние Громова–Хаусдорфа между подмножеством $A\subset \mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$ конечно. Верно ли, что расстояние по Хаусдорфу между $A$ и некоторой прямой (которую естественным образом можно отождествить с $\mathbb{R}$ с сохранением расстояний) конечно?
Как показано в задаче, в данном случае существует неожиданный контрпример. Однако оказывается, что если в условии заменить прямую $\mathbb{R}$ на плоскость $\mathbb{R}^2$, то ответ изменится на противоположный! Иначе говоря, если расстояние Громова–Хаусдорфа между подмножеством $A\subset\mathbb{R}^2$ и самой плоскостью $\mathbb{R}^2$ конечно, то и расстояние Хаусдорфа между ними конечно. То есть в таком случае найдётся такое положительное число $\epsilon$, что для каждой точки $x$ плоскости найдётся некоторая точка $a$ из $A$ такая, что $|ax| < \epsilon$. Более того, оказывается, что аналог этого утверждения верен в $\mathbb{R}^n$ для произвольного натурального числа $n$. Несмотря на естественность этого утверждения, данный результат является сложной теоремой, а его доказательство существенно опирается на специфику пространства $\mathbb{R}^n$ с евклидовой метрикой. Например, если заменить евклидово расстояние в $\mathbb{R}^n$ на произвольную норму, то до сих пор неизвестно, будет ли верен аналог этого утверждения!
Для дальнейшего знакомства с метрической геометрией рекомендуем замечательный учебник [1], а заинтересовавшимся геометрией расстояния Громова–Хаусдорфа и, более конкретно, обобщением этой задачи, предлагаем конспект [2] и свежую работу [3], в которой доказано данное обобщение.
Литература
[1] Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.
[2] Tuzhilin A. A. Lectures on Hausdorff and Gromov–Hausdorff Distance Geometry ArXiv e-prints, arXiv:2012.00756, 2019.
[3] Mikhailov I. N., Tuzhilin A. A. When the Gromov–Hausdorff distance between finite-dimensional space and its subset is finite? ArXiv e-prints, arXiv:2411.13539, 2024.
