Условие
В остроугольном треугольнике $ABC$ отмечены точки $I$ и $O$ — центры вписанной и описанной окружностей соответственно. Прямые $AI$ и $CI$ вторично пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $N$ и $M$. Отрезки $MN$ и $BO$ пересекаются в точке $X$. Докажите, что прямые $XI$ и $AC$ перпендикулярны.
Решение
Заметим, что $M$ и $N$ — середины дуг $AB$ и $BC$ соответственно. Поэтому треугольники $MBN$ и $MIN$ равны по общей стороне и двум прилежащим углам. Значит, треугольники $MBX$ и $MIX$ равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда
$$
\angle KIC = \angle MIX = \angle MBX =\angle MBA + \angle ABO =\\ =\frac12\angle C + \frac12(180^\circ - \angle2C) = 90^\circ - \angle KCI,
$$
то есть угол $IKC$ прямой, что и требовалось.
Замечания
Равенство треугольников $MBN$ и $MIN$ следует также из леммы о трезубце.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Дата |
2024/25 |
|
Номер |
46 |
|
вариант |
|
Вариант |
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс |
|
задача |
|
Номер |
3 |
