Задача 67487
|
|
 |
Условие
У 10 детей есть несколько мешков с конфетами. Дети начинают делить конфеты между собой. Каждый по очереди забирает из каждого мешка свою долю и уходит. Доля вычисляется так: делим текущее число конфет в каждом мешке на число оставшихся детей (включая себя), если нацело не поделилось — округляем до целого в меньшую сторону. Может ли всем достаться разное количество конфет,а) если мешков всего 8;
б) если мешков всего 9?
Решение
а) Если из одного мешка убрать 10 конфет, то каждый получит из этого мешка на одну конфету меньше, что не скажется на различии результатов. Поэтому можно считать, что в каждом мешке меньше 10 конфет.Рассмотрим какой-либо мешок. Если в нём изначально было $r$ конфет, то первые $10 - r$ детей ничего не возьмут из этого мешка. После этого число детей станет равным $r$, и далее каждый ребёнок заберёт из мешка ровно по одной конфете. Значит, каждый ребёнок получит из каждого мешка не более одной конфеты, а всего — от 0 до 8 конфет. Но среди 10 чисел от 0 до 8 найдутся два одинаковых.
б) Пусть число конфет в мешках равно соответственно 9, 8, ..., 1. Так как детей 10, первый ребёнок уйдёт, ничего не взяв ни из одного мешка. Останется 9 детей. Второй ребёнок заберёт только одну конфету из первого мешка. Останется 8 детей, а в мешках — 8, 8, 7, ..., 1 конфет.
Третий ребёнок заберёт лишь по одной конфете из первых двух мешков. Останется 7 детей, а в мешках — 7, 7, 7, 6, ..., 1 конфет. И так далее: $i$-й ребёнок заберёт по одной конфете из первых $i - 1$ мешков, где $i$ = 2, 3, ..., 10. В частности, когда очередь дойдёт до 10-го ребёнка, в каждом мешке останется по одной конфете, и он заберёт их все. Итого, дети получат 0, 1, 2, ..., 9 конфет.
