Задача 67491
|
|
 |
Условие
Петя записал на доске натуральное число. Каждую минуту Вася умножает последнее записанное на доску число на 2 или на 3 и записывает результат на доске. Может ли Петя выбрать начальное число так, чтобы в любой момент среди всех записанных на доске чисел количество начинающихся на 1 или 2 было больше, чем количество начинающихся на 7, 8 или 9, как бы ни действовал Вася?Решение
Назовём числа, начинающиеся на 1 или 2, мелкими, а начинающиеся на 7, 8 или 9, — крупными. Заметим, что сразу после каждого крупного числа на доске появится мелкое. В самом деле, если в крупном числе $A$ всего $k$ разрядов, то $7\cdot10^{k-1}\leqslant A <10^k$, откуда $1,4\cdot10^{k}\leqslant 2A < 3A < 3\cdot10^k$, то есть, после $A$ появится число, в котором $k$ разрядов, а первая цифра — 1 или 2. Поэтому, если второе мелкое число появится на доске раньше первого крупного, то крупных чисел всегда будет меньше.Петя может начать, например, с мелкого числа 112. Чтобы помешать Пете, Вася вынужден умножить его на 3 (получится 336), потом на 2 (672). Умножение 672 как на 2, так и на 3 даст мелкое число. Есть много других примеров: скажем, он может начать с числа 17.
