Задача 67493
|
|
 |
Условие
Известно, что каждый прямоугольный параллелепипед обладает свойством: квадрат его объёма равен произведению площадей трёх его граней, имеющих общую вершину. А существует ли параллелепипед, который обладает этим же свойством, но не является прямоугольным?Решение 1
Расположим исходный непрямоугольный параллелепипед так, чтобы две противоположные непрямоугольные грани были горизонтальны. Пусть для него квадрат объёма равен произведению площадей трёх граней. Передвинем верхнюю грань так, чтобы она осталась на той же высоте над нижней гранью, но чтобы теперь боковые рёбра были перпендикулярны нижней грани. Объём параллелепипеда не поменяется, а площади боковых граней разве что уменьшатся (высоты параллелограммов станут минимальными возможными), поэтому для нового параллелепипеда квадрат объёма будет больше или равен произведению площадей граней. С другой стороны, теперь (если не учитывать один и тот же множитель — квадрат произведения трёх рёбер, выходящих из одной вершины) квадрат объёма равен по сути квадрату синуса угла в верхней грани, а произведение площадей граней равно по сути синусу угла верхней грани, то есть квадрат объёма меньше произведения площадей граней — противоречие.Решение 2
Пусть такой параллелепипед существует. Если увеличить одно из его рёбер в $k$ раз, то как произведение площадей трёх граней, так и квадрат объёма увеличатся в $k^2$ раз. Поэтому можно считать, что все рёбра равны 1, то есть все грани — ромбы. Если одна из граней — не квадрат, то её площадь $S < 1$. Площади двух остальных граней равны их высотам $H_2$ и $H_3$, а объём равен $Sh$, где $h$ — высота, опущенная на первую грань. Тогда $SH_2H_3 = (Sh)^2$, то есть $H_2H_3 < h^2$. Но $h \leq H_2$ (по теореме о трёх перпендикулярах $H_2$ — гипотенуза, а $h$ — катет прямоугольного треугольника, возможно, вырожденного). Аналогично $h \leq H_3$. Противоречие.Вариация. Пусть $a,b,c$ — стороны параллелепипеда, $h$ — его высота, опущенная на грань со сторонами $a$ и $b$. Тогда $V^2 = S_{ab} S_{bc} S_{ca} \geq S_{ab}\cdot b\cdot h\cdot a\cdot h \geq S_{ab} S_{ab} h^2 = V^2$. Из равенства следует, что $a\perp b$. Аналогично, $b\perp c$ и $c\perp a$.
