Задача 67495

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Кожевников П.А.

Дана окружность $\omega_1$, а внутри неё — окружность $\omega_2$. Выбирают произвольную окружность $\omega_3$, которая касается двух предыдущих, причём оба касания внутренние. Точки касания соединяют отрезком, а через точку пересечения этого отрезка с окружностью $\omega_2$ проводят касательную к $\omega_2$ и получают хорду окружности $\omega_3$. Докажите, что концы всех таких хорд (полученных при всевозможных выборах окружности $\omega_3$) лежат на фиксированной окружности.

Решение

Пусть $A$ и $B$ — точки касания окружности $\omega_3$ с окружностями $\omega_2$ и $\omega_1$ соответственно, $C$ — точка пересечения отрезка $AB$ с окружностью $\omega_2$, и $PQ$ — хорда окружности $\omega_3$, касающаяся $\omega_2$ в точке $C$.
Для каждой пары из окружностей $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ рассмотрим центр гомотетии, переводящий одну окружность в другую. По теореме о трёх гомотетиях, эти три точки лежат на одной прямой. Поскольку центр гомотетии, переводящей касающиеся окружности одна в другую, совпадает с их точкой касания, получаем, что отрезок $AB$ проходит через центр $H$ гомотетии, переводящей $\omega_1$ в $\omega_2$. Тогда хорда $PQ$ параллельна проходящей через точку $B$ касательной к $\omega_1$, и серединный перпендикуляр к хорде $PQ$ проходит через центр $O$ окружности $\omega_1$. Пусть $M$ — середина хорды $PQ$. Не теряя общности, $M$ лежит на отрезке $CQ$. Тогда

$$OP^2=(OC^2-CM^2)+MP^2=OC^2+(MP-CM)(MP+CM)=OC^2+PC\cdot CQ=OC^2+AC\cdot BC.$$ Докажем, что эта величина не зависит от выбора окружности $\omega_3$, то есть концы всех хорд $PQ$ равноудалены от $O$. Для этого продлим $CA$ до пересечения с $\omega_1$ в точке $D$. Пусть $R$ и $r$ — радиусы окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно. Тогда $$AC\cdot BC=(CD-AD)\cdot BC=CD\cdot BC - AD\cdot BC.$$ Заметим, что $CD\cdot BC=R^2-OC^2$ — степень точки $C$ относительно окружности $\omega_1$. Поэтому $OP^2=R^2-AD\cdot BC$. Осталось доказать, что величина $AD\cdot BC$ не зависит от выбора $\omega_3$. Так как $H$ — центр гомотетии, переводящий $\omega_1$ в $\omega_2$, то $$\frac{R}{r}=\frac{HD}{HA}=1+\frac{AD}{HA},$$ откуда $$AD=HA\cdot\left(\frac{R}{r}-1\right); \quad \text{аналогично,} \quad BC=HC\cdot\left(\frac{R}{r}-1\right).$$ Тогда $$AD\cdot BC=\left(\frac{R}{r}-1\right)^2\cdot HA\cdot HC=\left(\frac{R}{r}-1\right)^2 \cdot s,$$ где $s$ — степень точки $H$ относительно окружности $\omega_2$, то есть, величина, не зависящая от выбора $\omega_3$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Дата	2024/25
Номер	46
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	5