Задача 67511

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Равносторонний треугольник разрезан на белые и чёрные треугольники. Известно, что все белые треугольники — прямоугольные и равны друг другу, а все чёрные — равнобедренные и тоже равны друг другу. Обязательно ли кратны $30^\circ$ все углы а) у белых треугольников; б) у чёрных треугольников?

Решение

а) Контрпример приведён ниже на левом рисунке. Острые углы прямоугольных треугольников равны $15^\circ$ и $75^\circ$.
Замечание. Имеется бесконечно много других примеров. Пусть $A_0$, $B_0$, $C_0$ — середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ равностороннего треугольника $ABC$, и пусть $A_1$, $B_1$ — центры треугольников $AB_0C_0$, $BC_0A_0$ соответственно. Тогда $A_0B_0A_1B_1$ — прямоугольник, который можно разрезать на прямоугольные треугольники бесконечно многими способами, а остальная часть режется на 8 треугольников с углами $120^\circ$, $30^\circ$ и $30^\circ$ (см. ниже правый рисунок).

б) Ниже приведены два контрпримера. Во втором все 12 равнобедренных треугольников имеют углы $15^\circ$, $15^\circ$ и $150^\circ$, а все 14 прямоугольных — $90^\circ$, $60^\circ$ и $30^\circ$.

Третий пример (на рисунке ниже) построен так. Возьмём на стороне $AB$ треугольника $ABC$ такие точки $U$, $V$, что $\angle ACU=\angle BCV=15^{\circ}$, на сторонах $AC$, $BC$ точки $X$, $Y$ соответственно, а на биссектрисе угла $C$ точку $Z$ так, что $XU\parallel CZ\parallel YV$, $XU=CZ=YV$. Тогда $CXUZ$, $CYVZ$ – ромбы, которые можно разрезать на четыре равных треугольника с углами $15^\circ$, $15^\circ$ и $150^\circ$ (или $75^\circ$, $75^\circ$ и $30^\circ$). Теперь, проведя в прямоугольных треугольниках $AUX$, $BVY$ средние линии, а в правильном треугольнике $UVZ$ медианы, получим 14 равных прямоугольных треугольников.

Ответ

Необязательно в обоих пунктах.

Замечания

См. также задачу 67448.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Дата	2024/25
Номер	46
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	6