Условие
Точки $I$, $I_a$ являются центром вписанной и $A$-вневписанной окружности треугольника $ABC$; вписанная окружность касается сторон $AC$, $AB$ в точках $E$, $F$; $G$ – точка пересечения $BE$ и $CF$. Перпендикуляр к $BC$, проходящий через точку $G$, пересекает $AI$ в точке $J$. Докажите, что $E$, $F$, $J$, $I_a$ лежат на одной окружности.
Решение
Пусть $J'$ – точка пересечения $AI$ с окружностью $I_aEF$, сторона $BC$ пересекает прямые $I_aF$, $I_aE$ в точках $X$, $Y$ и касается вписанной окружности в точке $D$. Заметим, что треугольники $J'EF$ и $IXY$
ортологичны, т.к. $I_a$ один из центров ортологии. Также
$$-1 = (A,BC \cap AI, I, I_a) = (A,B,XI \cap AB, F),$$
следовательно, $XI$ проходит через точку пересечения $ED$ и $AB$. Но тогда $IX \perp CF$. Аналогично, $IY \perp BE$. Тогда $J'G \perp XY$, что равносильно искомому утверждению.
Источники и прецеденты использования
