Условие
Точка $C$ лежит на биссектрисе острого угла с вершиной $S$. Точки $P$, $Q$ – проекции $C$ на стороны угла. Окружность с центром $C$ и радиусом $PQ$ пересекает стороны угла в точках $A$ и $B$, причем $SA \ne SB$. Докажите, что окружность с центром $A$, касающаяся $SB$, и окружность с центром $B$, касающаяся $SA$, касаются друг друга.
Решение
Так как $SC$ – биссектриса угла $ASB$, $AC = BC$ и $SA \ne SB$, точки $S$, $A$, $B$, $C$ лежат на одной окружности. Поэтому
$$\angle CAB = \angle CSB = \angle CPQ,$$
т.е. равнобедренные треугольники $CPQ$ и $CAB$ подобны. Следовательно,
$$AB : PQ = AC : PC = PQ : PC = 2 \cos\angle CSP.$$
Кроме того, $AP = BQ$, значит, $SA + SB = 2 \, SP$, и сумма расстояний от точек $A$ и $B$ до противоположных сторон угла равна
$$2 \, SP \sin \angle ASB = 4 \, SP \sin(\angle ASC) \cos(\angle ASC) = 2 \, PQ \, \cos(\angle ASC) = AB,$$
что равносильно утверждению задачи.
Источники и прецеденты использования
