Задача 67552

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Михайлов И.

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнено $\angle ABD=\angle ACD=90^{\circ}$. Окружности с диаметрами $AB$ и $CD$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Докажите, что $2PQ < AD$.

Решение

Пусть $K$, $L$ – проекции $B$, $C$ на $AD$. Тогда окружности с диаметрами $AB$, $CD$ проходят через $K$ и $L$ соответственно, а точки $P$, $Q$ лежат на дугах $BK$ и $CL$. Поскольку $\angle BAK<90^{\circ}$, получаем, что $PQ\leq BK\leq AD/2$, причем равенство возможно только при совпадении точек $B$ и $C$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2025
класс
Класс	8
задача
Номер	8.6