Задача 67590
|
|
 |
Условие
Петя и Вася подошли к доске, и Петя нарисовал на ней несколько окружностей с различными центрами, покрасив каждый центр красным или синим цветом. Оказалось, что если какие-то две окружности касаются друг друга, то обязательно внешним образом, причём их центры — разного цвета. Всегда ли Вася может заменить каждую окружность на новую с тем же центром так, чтобы выполнялось условие: если касались друг друга две старые окружности, то соответствующие им новые тоже касаются, но уже внутренним образом?Решение
Пусть $R_1$, $\ldots$, $R_m$ — радиусы «красных» окружностей, а $r_1$, $\ldots$, $r_n$ — радиусы «синих». Возьмём $R > \max (r_1, \ldots, r_n)$ и заменим окружности с радиусами $R_i$ на окружности с радиусами $R + R_i$, а окружности с радиусами $r_j$ на окружности с радиусами $R - r_j$. Если старые окружности с радиусами $R_i$ и $r_j$ касались, то $R_i + r_j = d_{ij}$ (где $d_{ij}$ — расстояние между их центрами). Для соответствующих новых окружностей получим $(R + R_i) - (R - r_i) = d_{ij}$, то есть они касаются внутренним образом.Наглядно это можно представить себе так: мы равномерно раздуваем все красные окружности и одновременно сдуваем синие (с той же скоростью), причём когда какая-то синяя окружность «схлопывается» в точку, далее она снова начинает расти (с той же скоростью). При этом все касания всё время сохраняются, а в моменты схлопываний внешние касания заменяются на внутренние.
