Задача 67593
|
|
 |
Условие
В четырёхугольнике $ABCD$ углы $B$ и $C$ равны $120^\circ$. На стороне $AD$ нашлась точка, из которой остальные стороны видны под равными углами. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.Решение 1
Пусть $O$ — точка на стороне $AD$ из условия. Тогда $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = 60^\circ$.Пусть $T$ — точка пересечения диагоналей $ABCD$. Продлим лучи $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $K$. Они пересекутся, так как углы $B$ и $C$ равны $120^\circ$, причём $\angle K=60^\circ$.
Заметим, что четырёхугольник $AKCO$ вписанный, так как $\angle AKC+\angle AOC=60^\circ+120^\circ=180^\circ$. Тогда $\angle KCA=\angle KOA$. Аналогично четырёхугольник $DKBO$ вписанный и $\angle KBD=\angle KOD$. Поэтому $\angle KCA+\angle KBD=\angle KOA+\angle KOD=180^\circ$.
Тогда в четырёхугольнике $KBTC$ сумма углов $KCT$ и $KBT$ равна $180^\circ$ и $\angle K = 60^\circ$, откуда оставшийся угол $BTC$ равен $360^\circ-60^\circ-180^\circ=120^\circ,$ то есть угол между диагоналями равен $60^\circ$.
Решение 2
Пусть $O$ — точка на стороне $AD$ из условия. Тогда $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = 60^\circ$.Рассмотрим поворотную гомотетию с центром $O$, являющуюся композицией поворота на $60^\circ$, переводящего прямую $OA$ в прямую $OB$, и гомотетии с коэффициентом $OB/OA$. При этой поворотной гомотетии точка $A$ переходит в $B$, прямая $AB$ — в прямую $BC$ (угол между ними по условию равен $60^\circ$), прямая $OB$ — в прямую $OC$, точка $B$ пересечения прямых $AB$ и $OB$ — в точку пересечения образов этих прямых, то есть в $C$, прямая $BC$ — в прямую $CD$, прямая $OC$ — в прямую $OD$, точка $C$ пересечения прямых $BC$ и $OC$ — в точку $D$. Поэтому прямая $AC$ переходит в прямую $BD$, следовательно, угол между ними равен $60^\circ$.
