|
|
 |
Условие
Улитка проползла по плоскости по контуру замкнутой несамопересекающейся $n$-звенной ломаной. Известно, что она двигалась только в трех направлениях: вверх, вправо и вниз-влево (под углом $45^{\circ}$ к горизонтали). Докажите, что $n$ нечётно.Решение 1
Будем использовать только, что улитка может двигаться в трёх направлениях, сонаправленных с одним из трёх векторов $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$, где $\vec{e}_1+\vec{e}_2+\vec{e}_3 = \vec{0}$. Не умаляя общности, будем считать, что эти векторы $\vec{e}_i$ идут в порядке $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$, $\vec{e}_3$, считая от $\vec{e}_1$ против часовой стрелки.При повороте улитки (в вершине многоугольника) текущий вектор направления $\vec{e}_i$ меняется на вектор $\vec{e}_{i\pm 1}$ (здесь и далее нижние индексы у векторов берём по модулю 3). Поэтому каждый раз улитка поворачивается на угол между каким-то двумя соседними векторами из наших трёх по или против часовой стрелки.
Пусть улитка проползла контур многоугольника против часовой стрелки (то есть так, что внутренность ломаной оставалась всё время слева от улитки) и снова находится в исходной точке и повёрнута в исходном направлении. Тогда она сделала суммарно 1 оборот против часовой стрелки (сумма внешних углов многоугольника, взятых со знаками (в зависимости от того, поворот по часовой стрелке или против), равна $360^\circ$). Это значит, что количество изменений индекса на $+1$ было ровно на 3 больше, чем изменений на $-1$. Тогда общее количество изменений на $\pm 1$ нечётно, но оно равно количеству вершин $n$. Этим завершается решение.
Решение 2
Поставим в соответствие пути улитки (многоугольнику) кольцевое слово из букв П (ход вправо), В (ход вверх) и Д (ход по диагонали); в этом слове нет соседних одинаковых букв. Каждой паре соседних букв в этом слове соответствует ориентированный угол, на который поворачивается улитка при переходе с первой стороны на вторую. Этот угол с точностью до знака равен внешнему углу нашего многоугольника. Например, паре ПВ соответствует угол $90^\circ$, а паре ДВ — угол $-135^\circ$. Из теоремы о сумме внешних углов многоугольника следует, что сумма всех этих углов равна $360^\circ$, если улитка обходит многоугольник против часовой стрелке, и $-360^\circ$ — в противном случае.Будем сокращать полученное слово, а именно, тройку букв вида $XYX$ будем заменять на букву $X$. При этом чётность количества букв сохранится, а соседних одинаковых букв, очевидно, не появится. Кроме того, сумма соответствующих углов не изменится, поскольку парам $XY$ и $YX$ соответствуют противоположные углы. Когда процесс закончится, останется слово, в котором не только соседние, но и буквы через одну не повторяются. Таких слов есть всего два вида (с точностью до кругового сдвига): ПВДПВД... и ПДВПДВ... Соответствующие суммы углов — это $(90^\circ + 135^\circ + 135^\circ) + (90^\circ + 135^\circ + 135^\circ) + \ldots$ и $(- 135^\circ - 135^\circ - 90^\circ) + (- 135^\circ - 135^\circ - 90^\circ)+\ldots$ Допустимые суммы $360^\circ$ или $-360^\circ$ будут только в словах из трёх букв. Значит, получено одно из таких слов, а в исходном слове число букв было нечётно, что и требовалось.
Замечания
Замечание 1. На самом деле, исходную задачу (да и общий случай) можно свести к другому, менее сложному частному случаю. А именно, рассмотрим в плоскости движения улитки треугольник с углами $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$ и сторонами, параллельными направлениям движения улитки, и сделаем аффинное преобразование плоскости, переводящее этот треугольник в равносторонний. При аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные, поэтому весь путь улитки перейдёт в новую ломаную, по которой улитка движется в трёх равноправных направлениях $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$, образующих друг с другом равные углы (по $120^{\circ}$). В этом частном случае решение можно изложить более элементарно, используя лишь формулу суммы углов $n$-угольника. Действительно, теперь наша ломаная ограничивает $n$-угольник с углами $180^{\circ} \pm 120^{\circ}$; количество тех и других углов обозначим $k_{+}$ и $k_{-}$ соответственно. Тогда сумма углов нашего $n$-угольника с одной стороны равна $S= (n-2)\cdot 180^{\circ} = n\cdot 180^{\circ} - 360^{\circ}$, а с другой стороны, $$S = k_{+} \cdot (180^{\circ} + 120^{\circ}) + k_{-} \cdot (180^{\circ} - 120^{\circ}) = (k_{+}+k_{-}) \cdot 180^{\circ} + (k_{+}-k_{-}) \cdot 120^{\circ} = n \cdot 180 ^{\circ} + (k_{+}-k_{-}) \cdot 120^{\circ} .$$ Отсюда $(k_{+}-k_{-}) \cdot 120^{\circ} = -360^{\circ}$, значит, $k_{+}-k_{-} = -3$. Следовательно, $n = k_{+}+k_{-} = 2k_{-}-3$, Видим, что $n$ нечётно, и задача решена.
Замечание 2. Соображения, приведённые в решении 1, показывают, что для произвольной (возможно самопересекающейся) замкнутой
$n$-звенной траектории нашей улитки (которой разрешено двигаться в трёх направлениях) чётность числа $n$ совпадает
с чётностью количества полных оборотов (вектора скорости улитки).
Можно показать, что для произвольной замкнутой ломаной
чётность количества оборотов совпадает с чётностью количества ее точек самопересечения (здесь считаем, что разрешены только самопересечения пар звеньев во внутренних точках).
