|
|
 |
Условие
Учитель дал 30 ученикам тест из 10 вопросов, в котором на каждый вопрос есть ровно один правильный ответ. Каждый ученик на пять вопросов ответил правильно, а в пяти ошибся. Оказалось, что никакие два неправильных ответа учеников на один и тот же вопрос не совпали. Какое наименьшее число работ необходимо посмотреть, чтобы мы гарантированно смогли выбрать 5 вопросов и указать правильный ответ к каждому из них?
Решение
Приведём пример, когда посмотреть 6 работ недостаточно: если в этих работах на первые 4 вопроса все ответили правильно, а на каждый из остальных 6 вопросов было получено по одному правильному ответу.
Докажем, что посмотреть 7 работ всегда будет достаточно. Предположим противное — пусть, проверив 7 работ, мы узнали меньше пяти правильных ответов. Тогда есть не меньше 6 вопросов, ответы на которые не повторяются, то есть на каждый из них дано не больше одного правильного ответа. На каждый из остальных вопросов, которых не больше 4, дано не больше 7 правильных ответов (сколько всего работ), поэтому общее число правильных ответов не превышает $4\cdot7 + 1\cdot6 = 34$. Но по условию в 7 работах их $7\cdot5 = 35$ — противоречие.
Ответ
7 работ.
