ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73583
Темы:    [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Биссектриса AD, медиана BM и высота CH остроугольного треугольника ABC пересекаются в одной точке. Докажите, что величина угла BAC больше 45°.

Решение

Нетрудно доказать, что для данного BAC=α< существует ровно один (с точностью до подобия) треугольник ABC , в котором высота CH , биссектриса AD и медиана BM пересекаются в одной точке. Действительно, отложив на одной стороне угла A=α (произвольный) отрезок AC , опустив на другую сторону угла перпендикуляр CH и обозначив его точку пересечения с биссектрисой угла A через O , мы найдем точку B пересечения второй стороны угла и прямой OM (где M  — середина отрезка AC ) и тем самым построим нужный треугольник ABC , — очевидно, что при заданных A и AC он определяется единственным образом. Заметим, что при этом угол B острый (поскольку точка H  — основание высоты — лежит на стороне AB ).
Докажем, что если A< , то ACB> . Отложим на прямой AB отрезок HB1=AH . Тогда биссектриса B1 F угла B1 равнобедренного треугольника AB1 C пройдет через точку O . Поскольку =>1 , то точка M лежит между A и F , поэтому B1 лежит между A и B и BCA> B1 CA> .
В этой задаче можно получить и более точный результат: найти точную оценку снизу для угла α при условии, что AB=γ< . Для этого выразим γ как функцию от α . Проведем HE | BM ( E  — точка на AC ). Тогда (рис. 7)

Отсюда ясно, что функция γ=γ(α) на отрезке 0<α< монотонно убывает (чем больше α , тем больше sin α и тем меньше cos α , а поэтому меньше и вся дробь, стоящая под знаком арктангенса). Найдем теперь α , для которого γ(α)= . Это уравнение сводится к такому: 0<α< , sin2 α (1- cos α)= cos3 α , откуда cos α= . Итак, если γ< , то α>α0=arccos ( α0> , поскольку < ; как можно убедиться по таблицам, величина угла, соответствующего α0 , в градусах составляет примерно 51o50' ).

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1970
выпуск
Номер 10
Задача
Номер М48

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .