Задача 73609

Темы:    [ Многочлены (прочее) ] [ Замена переменных ] [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство  p(x) = p(a – x).
Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от  (x – ^a/₂)².

Решение

Положим  b = ^a/₂,  t = x – b  и  q(t) = p(b + t).   q(– t) = p(b – t) = p(2b – x) = p(x) = p(b + t) = q(t)  (то есть q – чётная функция). Значит,
q(t) = ½ (q(t) + q(– t)).   При сложении q(t) и q(– t) все нечётные степени , очевидно, сократятся, то есть  q(t) = h(t²). Следовательно,
p(x) = q(t) = h(t²) = h((x – b)²).

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1971
выпуск
Номер	3
Задача
Номер	М74