Докажите, что сумма  S = 1·2·3·...·2001 + 2002·2003·...·4002  делится на 4003.

   Решение

Докажите, что если фигура имеет две перпендикулярные оси симметрии, то она имеет центр симметрии.

   Решение

Как надо расположить числа  1, 2, ..., 2n  в последовательности  a₁, a₂, ..., a_2n,  чтобы сумма  |a₁ – a₂| + |a₂ – a₃| + ... + |a_2n–1 – a_2n| + |a_2n – a₁|  была наибольшей?

   Решение

Число ребер выпуклого многогранника равно 99. Какое наибольшее число ребер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины?

   Решение

Треугольники ABC и ABD равны, причём точки C и D не совпадают. Докажите, что прямая CD перпендикулярна прямой AB.

   Решение

Темы:    [ Теорема Виета ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a, b, c уравнения  x³ + ax² + bx + c,  чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

Решение

  Пусть  x₁ ≤ x₂ ≤ x₃  – корни нашего уравнения. Тогда  x₁ + x₂ + x₃ = – a.  Для того чтобы x₁, x₂, x₃ составляли арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы  x₁ + x₃ = 2x₂.  Поэтому  x₂ = – ^a/₃,  x₁ + x₃ = – ^2a/₃.
  Далее,     то есть    .   Значит,  
  Чтобы корни были действительными, система  x₁ + x₃ = – ^2a/₃,     должна иметь действительные решения, то есть трёхчлен     должен иметь неотрицательный дискриминант. Отсюда  

Ответ

27c = 3ab – 2a³,  3b ≤ a².

Источники и прецеденты использования