Задача 73623

Темы:    [ Теорема Виета ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Безбородников М.Ф.

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a, b, c уравнения  x³ + ax² + bx + c,  чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

Решение

  Пусть  x₁ ≤ x₂ ≤ x₃  – корни нашего уравнения. Тогда  x₁ + x₂ + x₃ = – a.  Для того чтобы x₁, x₂, x₃ составляли арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы  x₁ + x₃ = 2x₂.  Поэтому  x₂ = – ^a/₃,  x₁ + x₃ = – ^2a/₃.
  Далее,     то есть    .   Значит,  
  Чтобы корни были действительными, система  x₁ + x₃ = – ^2a/₃,     должна иметь действительные решения, то есть трёхчлен     должен иметь неотрицательный дискриминант. Отсюда  

Ответ

27c = 3ab – 2a³,  3b ≤ a².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	5
Название	Теорема Виета
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.114
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1971
выпуск
Номер	6
Задача
Номер	М88