Решите систему:
 

   Решение

Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что  XA·BC = XB·AC = XC·AB;  I₁, I₂, I₃ – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI₁, BI₂ и CI₃ пересекаются в одной точке.

   Решение

Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство

0 < < .

   Решение

Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке  

   Решение

На сторонах AB, BC, CD и DA вписанного четырёхугольника ABCD, длины которых равны a, b, c и d, внешним образом построены прямоугольники размером a×с, b×d, с×a и d×b. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.

   Решение

Для каждого натурального  n > 1  существует такое число c_n, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа  x + ^π/_n,  синуса числа
x + ^2π/_n,  ..., наконец, синуса числа  x + ^{(n – 1)π}/_n  равно произведению числа c_n на синус числа nx. Докажите это и найдите величину c_n.

   Решение

Темы:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Для каждого натурального  n > 1  существует такое число c_n, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа  x + ^π/_n,  синуса числа
x + ^2π/_n,  ..., наконец, синуса числа  x + ^{(n – 1)π}/_n  равно произведению числа c_n на синус числа nx. Докажите это и найдите величину c_n.

Решение

  sin nx = sin x·U_n–1(cos x),  где U_n–1 – многочлен Чебышёва (см. задачу 61099). Из рекуррентных соотношений задачи 61100 следует, что U_n–1 – многочлен степени  n – 1  с первым коэффициентом 2^n–1.
  Положим     Сгруппируем попарно члены вида     и     где   0 < k < ⁿ/₂.  Если n чётно, то в произведении останется ещё член  
  Преобразуем попарные произведения:

      где d_i – некоторые константы.
  Итак,  f(x) = D_n(cos x),  где D_n(x) – некоторый многочлен степени  n – 1  с первым коэффициентом 1.
  Осталось доказать, что  U_n–1(x) = 2^n–1D_n(x)  (в частности, отсюда будет следовать, что константа c_n в условии равна 2^1–n).
  Рассмотрим многочлен  F(x) = U_n–1(x) – 2^n–1D_n(x).  Его степень меньше  n – 1,  так как коэффициенты при x^n–1 у многочленов U_n–1(x) и 2^n–1D_n(x) равны.
  Рассмотрим точки  x_k = – ^πk/_n  (k = 1, ..., n – 1)  и пусть  t_k = cos x_k.  Ясно, что  f(x_k) = 0,  и потому  D_n(t_k) = 0;  кроме того,  sin (nx_k) = 0,
а  sin x_k ≠ 0,  – значит,  U_n–1(cos x_k) = U_n–1(t_k) = 0.
  Заметим, что все точки t_k различны, так как  cos x  возрастает на отрезке  [– π, 0].
  Итак, многочлен F(x) обращается в нуль в  n – 1  точке  t₁, t₂, ..., t_n–1  и, значит, F(x) – тождественный нуль. Таким образом,  U_n–1 = 2^n–1D_n,  то есть  

Источники и прецеденты использования