Задача 73758

Темы:    [ Количество и сумма делителей числа ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Макаричев А.

Натуральное число называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 – совершенное:  28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.)  Докажите, что совершенное число не может быть полным квадратом.

Решение

  Пусть    где p₁, ..., p_m – различные простые, r₁, ..., r_m – натуральные числа.
  Согласно формуле из задачи 60537 б) сумма S всех делителей числа n равна произведению  
  Так как n – совершенное число, то  S = 2n,  то есть число чётное. Но если n – квадрат целого числа, то все показатели r₁, ..., r_m – чётные числа, поэтому каждая скобка в произведении S нечётна, следовательно, и S нечётно. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1973
выпуск
Номер	9
Задача
Номер	М223