|
|
 |
Условие
Какое наибольшее количество а) ладей; б) ферзей можно расставить на шахматной доске 8×8 так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?
Решение
а) Пусть k ладей расположены с соблюдением условия. На каждом поле, где стоит ладья, напишем число 0. В каждом из n столбцов проделаем следующую операцию: если в столбце стоят два числа, то прибавим к обоим по 1, если одно число, то к нему прибавим 2 (в пустом столбце ничего писать не будем). Затем проделаем точно такую же операцию с каждой строкой. Ясно, что на месте каждой из k ладей в результате будет написано либо 3, либо 4, поэтому сумма S всех написанных чисел не меньше 3k; с другой стороны, поскольку в каждый из восьми столбцов и затем в каждую из восьми строк мы добавили не более чем 2, то S ≤ 32. Итак, 3k ≤ S ≤ 4n, откуда k ≤ 10.
Пример расстановки 10 ладей, удовлетворяющей условию, показан на рисунке слева.
б) Ясно, что ферзей можно поставить не больше, чем ладей. На рисунке справа показано, как расставить 10 ферзей.
Ответ
а) 10 ладей, б) 10 ферзей.
Замечания
В решениях Задачника "Кванта" обсуждается та же задача на доске n×n.
