Условие
В углу шахматной доски стоит фигура. Первый игрок может ходить ею два раза подряд как обычным конём (на два поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном), а второй – один раз как конём с удлинённым ходом (на три поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном). Так они ходят по очереди. Первый стремится к тому, чтобы поставить фигуру в противоположный угол, а второй – ему помешать. Кто из них выигрывает (размеры доски – n×n, где n > 3)?
Решение
Пусть вначале конь находится в левом нижнем углу доски. Понятно, что первый игрок первым же ходом может вывести коня из угла доски и поставить его на
диагональ (рис. слева). Докажем, что первый игрок может каждым своим ходом
возвращаться на диагональ, причём все выше и выше.
Пусть первый игрок поставил коня на какую-то клетку диагонали доски (рис. в центре). Клетки, в которые второй игрок может сместить коня с диагонали, помечены чёрными и красными крестиками. Из клеток, помеченных красными
крестиками, первый игрок может вернуть коня на диагональ доски, сдвинув его
при этом вверх ровно на одну клетку (в направлении нужного угла). Из клеток
же, помеченных чёрными крестиками, первый игрок также может вернуться на
диагональ, но уже не в следующую клетку, а через одну. Однако ясно, что ставить
коня в клетки, помеченные чёрными крестиками, в конце игры второй игрок не
сможет: доска ограничена, и когда до верхнего угла останется одно или два
поля, верхняя и правая границы доски "отрежут" от получающейся конфигурации
чёрные крестики – клетки (см.рис.3); второй игрок будет вынужден начать
ставить коня в клетки, помеченные красными крестиками. Понятно, что в таком
случае первый игрок достигнет цели.
Источники и прецеденты использования
