ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 73810
Условиеа) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которыхб) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с в) Можно ли заменить РешениеРассмотрим вначале "одномерную" задачу.
Лемма1. Пусть дано n чисел, таких, что каждое по модулю не превосходит
1 , а сумма всех равна 0 . Тогда их можно занумеровать так, чтобы при любом
i
Укажем один из способов нумерации (проверьте, что он приводит к цели). Разобьем
данные числа на положительные: a1 , ... , ak и неположительные:
b1 , ... , bn-k . Положим c1=a1 , c2=b1 . Если c1+c2<0 ,
положим c3=a2 ; если c1+c2
Опираясь на лемму1, решим задачу M275 б). Приложим все данные векторы
к некоторой точке O и выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы
сумма s всех векторов, смотрящих вверх (в полуплоскость y>0 ), была
направлена в точности по оси y . (Вопрос, как построить такую систему координат,
мы обсудим позже.) Остальные векторы (смотрящие вниз) дадут тогда в сумме -s .
Сначала займемся векторами, смотрящими вверх. Их составляющие по оси x обозначим
через p1 , ... , pk . Так как составляющая s по оси x равна 0 , то
p1+...+pk=0 . По модулю каждое из чисел p1 , ... , pk не превосходит
1 . По лемме1 занумеруем числа p1 , ... , pk так, чтобы при всяком
i
Так же занумеруем векторы, смотрящие вниз, и их составляющие по оси y назовем
b1 , ... , bn-k .
Теперь перейдем к сквозной нумерации всех данных векторов. Каждое из чисел
a1 , ... , ak заключено между 0 и 1 , каждое из чисел b1 , ... ,
bn-k – между 0 и -1 , а сумма всех их равна 0 . Не меняя
относительного порядка чисел a1 , ... , ak и относительного порядка
чисел b1 , ... , bn-k , выпишем их по лемме1 в виде набора
c1 , ... , cn так, чтобы при любом i
Итак, мы доказали, что n данных векторов можно обозначить через
v1 , ... , vn так, что при всяком i
Замечание1. Остается обосновать построение системы Oxy .
Разобьем все данные векторы на два класса, сумму векторов первого класса
обозначим через s (тогда сумма векторов второго класса будет -s ).
Всевозможных разбиений на два класса всего 2n (важно, что их конечное число).
Выберем из них такое, для которого |s| принимает наибольшее значение, и
направление именно этого вектора s примем за направление оси y .
(Убедитесь, что построенная система Oxy обладает нужным нам свойством.)
Замечание2. Из приведенного построения оси y видно, что ни один из
данных векторов не перпендикулярен ей, следовательно, мы верно говорили
о векторах, "смотрящих вниз" (вместо более осторожного "не вверх").
Упражнение1. Пусть в пространстве дано n векторов, таких, что каждый
по модулю не превосходит 1 , a сумма всех равна 0 . Докажите, что их можно
занумеровав так, чтобы при любом i
Перейдем к задаче M275 а).
Лемма2. Пусть каждый из векторов e1 , ... ,
er имеет длину 1 , длина e0 не больше 1 , и
e0+ e1+...+ er=0 . Тогда среди векторов
e1 , ... , er найдется либо один вектор
ei , либо пара векторов ej и ek , которые
в сумме с e0 дают вектор e длины не больше 1 (либо
| e0+ ei|
Доказательство. Начертим два луча, OA и OB , образующие
с e0 углы в 120o (рис.2). Если среди e1 ,
... , er найдется вектор, лежащий внутри (или на сторонах)
Пусть такого вектора среди e1 , ... , er нет.
Проведем тогда через точку O прямую CD
Из леммы2 сразу следует, что в задаче M275 а) векторы можно занумеровать
так, чтобы при всяком k
Усложняя доказательство, можно еще улучшить оценку в задаче M275 а),
а именно– заменить
Упражнение2. Получите в задаче M275 а) оценку
Было бы интересно получить неулучшаемую оценку и в задаче M275 б) (автору
она неизвестна). Впрочем, для цели, ради которой предлагалась задача M275,
точная оценка как раз не нужна. Упомянутая цель– доказательство комплексной
теоремы Римана (см."Квант", 1973, #9. "От перемены мест слагаемых",
упражнения22 и23).
Упражнение3. Опираясь на M275 б), выполните упражнение22 из статьи "От перемены мест слагаемых". Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |