|
|
 |
Условие
Для каких n существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из n звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
Решение
Легко видеть, что n > 8.
Докажем, что любая несамопересекающаяся замкнутая ломаная с нечётным числом звеньев, не превышающим 13, обладает тем свойством, что всегда найдётся прямая, содержащая ровно одно звено этой ломаной. Предположим, что для такой ломаной не существует прямой, содержащей ровно одно звено. Тогда на одной из прямых должны лежать по крайней мере три звена нашей ломаной. У этих трёх звеньев шесть концов, и из каждого конца выходит звено ломаной, то есть всего шесть новых звеньев, причём никакие два из этих звеньев не лежат на одной прямой. Поэтому каждая прямая, содержащая одно из этих шести звеньев ломаной, должна в силу сделанного предположения содержать по крайней мере еще одно звено, отличное от уже рассмотренных девяти звеньев. Значит, рассматриваемая ломаная должна иметь еще по крайней мере шесть звеньев, то есть не меньше 15 звеньев. Противоречие.
Покажем, что для любого чётного n ≥ 10 и нечётного n ≥ 15 ломаная, о которой говорится в задаче, существует. Для чётных n ≥ 10 это хорошо всем известные n/2-конечные звезды (на n = 10 и n = 12).
