На одной из медиан треугольника $ABC$ нашлась такая точка $P$, что $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$. Докажите, что на другой медиане найдется такая точка $Q$, что $\angle QBA=\angle QCB=\angle QAC$.

   Решение

Тема:    [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 2+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC из произвольной точки D на стороне AB проведены две прямые, параллельные сторонам AC и BC, пересекающие BC и AC соответственно в точках F и G. Доказать, что сумма длин описанных окружностей треугольников ADG и BDF равна длине описанной окружности треугольника ABC.

Решение

Радиусы (а значит, и длины) описанных окружностей подобных треугольников ADG, DBF и ABC пропорциональны соответственным сторонам, поэтому все следует из равенства  AD + DB = AB.

Источники и прецеденты использования