Задача 76440

Темы:    [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ] [ Симметрические многочлены ] [ Методы решения задач с параметром ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Решить систему:
   x + y + z = a,
   x² + y² + z² = a²,
   x³ + y³ + z³ = a³.

Решение

Из тождества  (x + y + z)² – (x² + y² + z²) = 2(xy + yz + xz)  находим, что  xy + yz + xz = 0.  Из тождества
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – xz)  (см. задачу 61005 г) получаем, что  xyz = 0.  Таким образом, x, y, z – корни кубического уравнения  x³ – ax² = 0.

Ответ

{a, 0, 0}.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	3
Год	1937
вариант
Тур	1
задача
Номер	1
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	5
Название	Теорема Виета
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.110