|
|
 |
Условие
Решить систему уравнений:
3xyz – x³ – y³ – z³ = b³,
x + y + z = 2b,
x² + y² + z² = b².
Решение
b³ = 3xyz – x³ – y³ – z³ = (x + y + z)(xy + yz + xz – x² – y² – z²) = 2b(xy + yz + xz – x² – y² – z²) (см. задачу 61005 г). Но выражение в скобках неположительно и обращается в ноль только при x = y = z. Поэтому уравнение имеет решение только при b = 0. В этом случае последние два уравнения запишутся в виде z = – x – y и z² = x² + y². Возведя первое из них в квадрат, получим xy = 0. Значит, x = 0, z = – y или y = 0, z = – x.
Ответ
При b = 0 (0, t, –t), (t, 0, –t); при b ≠ 0 решений нет.
Замечания
При b ≠ 0 система имеет комплексные решения. Из полученного соотношения следует, что 2(x² + y² + z² – (xy + yz + xz)) = – b². Но
x² + y² + z² + 2(xy + yz + xz) = 4b². Отсюда x² + y² + z² = b², 2(xy + yz + xz) = – 3b². Из третьего уравнения получаем z = 0, откуда
x² + y² = b², 2xy = – 3b². Теперь два комплексных решения легко находятся.
