Условие
Даны две точки A и B и окружность. Найти на окружности точку X так, чтобы
прямые AX и BX отсекли на окружности хорду CD, параллельную данной прямой
MN.
Решение
Предположим, что мы построили требуемую точку X. Пусть прямая AX пересекает
данную окружность S в точке C, а прямая BX — в точке D. Проведём
через точку D прямую, параллельную прямой AB; она пересекает окружность S
в некоторой точке K. Пусть прямая KC пересекает прямую AB в точке P.
Треугольники APC и AXB подобны, поскольку угол A у них общий и
APC = CKD = CXD. Из подобия этих треугольников следует, что
AP . AB = AC . AX.
Из этого вытекает следующее построение. Проведём через точку A прямую,
пересекающую окружность S в некоторых точках C' и X'. Тогда
AP . AB = AC . AX = AC' . AX', поэтому мы можем построить точку P.
Далее, нам известен угол CDK (он равен углу между прямыми AB и
MN). Поэтому мы знаем длину хорды KC, а значит, мы можем построить
окружность S', которая имеет тот же самый центр, что и окружность S, и
касается хорды KC. Проведя из точки P касательную к окружности S',
находим точку C.
Источники и прецеденты использования
