ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76461
Темы:    [ Разложение на множители ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Разложить на множители:  (b – c)³ + (c – a)³ + (a – b)³.


Решение 1

(b – c)³ + (c – a)³ + (a – b)³ = (b – a)((b – c)² – (b – c)(c – a) + (c – a)²) + (a – b)³ = (b – a)((b – c)² – (b – c)(c – a) + (c – a)² – (a – b)²) =
= (b – a)((b – c)(b + a – 2c) + (b + c – 2a)(c – b)) = (b – a)(b – c)(3a – 3c).


Решение 2

Положим  x = a – b,  y = b – c,  z = c – a,  при этом  x + y + z = 0.  Согласно задаче 61005 ж
x³ + y³ + z³ = x³ + y³ + z³ – (x + y + z)³ = – 3(x + y)(y + z)(x + z).


Решение 3

При  a = b  многочлен обращается в ноль, значит, по теореме Безу (см. задачу 60961) он делится на  a – b.  Аналогично он делится на  a – c  и  b – c.  Поскольку это – многочлен третьей степени, он равен  k(a – b)(b – c)(c – a).  Подставляя  a = –1,  b = 0,  c = 1,  находим, что  k = 3.


Ответ

3(a – b)(b – c)(c – a).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 6
Год 1940
вариант
Класс 7,8
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .